2 Definitionen und Verallgemeinerungen

2.1 Eigenschaft

Als Eigenschaft werden bei dem normalen Spiel Anzahl, Farbe, Form und Füllung bezeichnet. Bei Erweiterungen könnten neue Eigenschaften, wie etwa Hintergrundfarbe hinzugefügt werden oder auch einige weggelassen werden. Uns kommt es bei Eigenschaften aber nicht darauf an, welche es gibt, da man diese beliebig austauschen kann, sondern wie viele es gibt. Die Anzahl der Eigenschaften bezeichnen wir mit n, für das normale Spiel gilt also n=4. Die Eigenschaften werden beliebig durchnumeriert, so daß jeder Zahl von 1 bis n genau eine Eigenschaft und jeder Eigenschaft genau eine Zahl zugeordnet ist.

2.2 Variante

Varianten sind Zustände der Eigenschaften. Bei der Eigenschaft Farbe gibt es zum Beispiel die Varianten rot, lila und grün. Die Anzahl der Varianten ist bei jeder Eigenschaft gleich und wird mit v bezeichnet, für das normale Spiel gilt also v=3. Die Varianten jeder Eigenschaft werden so durchnumeriert, daß jeder Zahl von 0 bis v-1 genau eine Variante und jeder Variante eine Zahl zugeordnet ist.

2.3 Darstellung von Karten als Wort

Jede Karte läßt sich eindeutig als n-buchstabiges Wort über das Alphabet von 0 bis v-1 darstellen, indem als Buchstabe an die Stelle i die vorliegende Variante derjenigen Eigenschaft gesetzt wird, die der Zahl i zugeordnet ist. Beim Set-Spiel gibt es also die Karten 0000 bis 2222. Diese Schreibweise entspricht einer Darstellung der Zahlen 0 bis 80 im Dreiersystem.
Bei v Varianten können die Karten dementsprechend in einem Zahlensystem zur Basis v dargestellt werden. Diese Darstellung ist eindeutig, da die Variante jeder Eigenschaft durch eine Ziffer dargestellt wird, und zwei Karten daher nur dann gleich notiert werden, wenn sie in allen Eigenschaften übereinstimmen.

2.4 Größe des Set-Spiels

Das verallgemeinerte Spiel mit beliebigen n und v besteht aus vn verschiedenen Karten, da bei jeder der n Eigenschaften genau v Varianten möglich sind.

2.5 Geometrische Darstellung

Man kann die Karten eines Set-Spiels mit n Eigenschaften in einem n-dimensionalen Würfel darstellen, dessen Punkte nur natürlichzahlige Koordinaten aufweisen. In eine Ecke des Würfels legen wir den Ursprung eines Koordinatensystems, dessen n Achsen entlang der Kanten des Würfels verlaufen. Da wir jede der v Varianten einer Eigenschaft mit ganzen Zahlen von 0 bis v-1 bezeichnen können (siehe 2.2), können wir demnach jede der n Eigenschaften auf jeweils einer der n Achsen abtragen. Jede Karte wird also durch einen Punkt dargestellt, dessen Koordinaten den Varianten entsprechen.
 
Abbildung 1 [5]: Geometrische Darstellung des Set-Spiels mit drei Eigenschaften und drei Varianten in einem dreidimensionalen Würfel (siehe auch Titelbild/Deckblatt)

In Abbildung 1 wird ein Set-Spiel mit drei Eigenschaften und drei Varianten in einem dreidimensionalen Würfel dargestellt. Um die Einsicht zu erleichtern, sind die Karten in dieser Abbildung selbst und noch nicht als Punkte dargestellt. Deutlich erkennbar ist, daß sich dieser Würfel aus drei Ebenen (oben, Mitte, unten; aber auch: links, Mitte, rechts; oder: hinten, Mitte, vorne), in denen jeweils neun Karten liegen, zusammensetzt.
 
00 01 02
10 11 12
20 21 22
Abbildung 2: Geometrische Darstellung eines Set-Spiels mit zwei Eigenschaften und drei Varianten in der Ebene

Die in Abbildung 2 dargestellte Ebene wurde in v² (=9) Felder aufgeteilt, so daß jede Karte genau einem Feld zugeordnet ist und umgekehrt. Zusätzlich wurden die Felder mit den zugehörigen Karten in der Wortdarstellung (siehe 2.3) bezeichnet. Wegen dieser Darstellungsform verwenden wir in unserer Arbeit auch den Ausdruck „Felder belegen“, wenn wir die zugehörigen Karten auswählen.
Um einen n-dimensionalen Würfel, in dem sich die Karten eines Setspiels anordnen lassen, auf möglichst einfache Weise darzustellen, projizieren wir diesen auf die (Zeichen-)Ebene. Dabei werden mehr als zwei Dimensionen dadurch dargestellt, daß jeweils v Schichten der (v-1)-ten Dimension abgebildet werden. So wurden bei der Projektion des dreidimensionalen Set-Würfels (Abbildung 3) die drei in ihm vorhandenen parallelen Ebenen nebeneinander dargestellt. Bei vier Eigenschaften ergibt sich ein vierdimensionaler Würfel, der sich aus drei dreidimensionalen parallelen Karten-„Schichten“ zusammensetzt. Bei der Projektion in der Ebene stellen wir diese drei „Schichten“ untereinander dar. Beim Schluß auf ungerade n werden also bei der Projektion drei (n-1)-dimensionale Schichten nebeneinander dargestellt, beim Schluß auf gerade n hingegen untereinander.
 

000 001 002 100 101 102 200 201 202
010 011 012 110 111 112 210 211 212
020 021 022 120 121 122 220 221 222
2-dimensionale Ebene 2-dimensionale Ebene 2-dimensionale Ebene
Abbildung 3: Projektion des dreidimensionalen Set-Würfels (n=3, v=3) auf die Zeichenebene

2.6 Sets

Beim normalen Set-Spiel (mit v=3) besteht ein Set aus 3 Karten, bei denen für jede Eigenschaft gilt, daß sie gleich oder ganz unterschiedlich sind. Mit der Menge {0001, 1021, 2011} liegt also ein Set vor.
Diese Set-Definition läßt sich auf beliebige Variantenzahlen verallgemeinern, indem man unter einem Set v Karten versteht, die diese Bedingung erfüllen. Wenn sich die Varianten einer Eigenschaft in einem Set unterscheiden, kommt auf diese Weise nämlich jede Variante genau einmal vor. Beispiel für n=3, v=4: {010, 130, 320, 200}. Bei jedem v>1 müssen sich die Karten eines Sets in mindestens einer Eigenschaft unterscheiden, denn jede Karte kommt nur einmal vor. Außerdem gilt folgender
Satz: Bei v=3 gilt, daß zu zwei beliebigen verschiedenen Karten genau eine dritte existiert, die mit den beiden ein Set bildet.
Beweis durch Konstruktion: Jede Eigenschaft wird für sich allein betrachtet. Stimmen die Varianten beider vorgegebener Karten überein, so muß auch die setbildende Karte in dieser Eigenschaft die gleiche Variante aufweisen. Unterscheiden sich die beiden vorgegebenen Karten in der betrachteten Eigenschaft, so muß die setbildende Karte in dieser Eigenschaft die noch nicht verwendete Variante annehmen, so daß sich alle drei Karten in dieser Eigenschaft unterscheiden.

2.7 Diagonalen

Die auf den Raumdiagonalen des n-dimensionalen Würfels jeweils liegenden Karten unterscheiden sich in jeder Eigenschaft (und bilden daher ein Set, siehe 2.6). Wir bezeichnen aber auch jedes andere Set, dessen Karten sich in jeder Eigenschaft unterscheiden, als Diagonale (siehe Abbildung 4 für Beispiele in der Ebene, Abbildung 5 für Beispiele im dreidimensionalen Würfel). Jede Diagonale enthält wie ein Set (siehe 2.6) genau v Karten.
X Y  
  X Y
Y   X
Abbildung 4: Nicht nur die mit X markierten Felder bilden eine (herkömmliche) Diagonale, nach unserer Definition liegen auch die Y-Karten auf einer Diagonalen.

 
Abbildung 5: Zwei Beispiele für Diagonalen im dreidimensionalen Würfel (bei v=3); die mit Kreisen markierten Karten stellen eine Raumdiagonale dar, laut unserer Definition bilden aber auch die mit Quadraten kenntlich gemachten Karten eine Diagonale.

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Anregungen, Fragen, Kritik an: Wolf Behrenhoff, Felix Krahmer und Andreas Sorge