2 Definitionen und Verallgemeinerungen
2.1 Eigenschaft
Als Eigenschaft werden bei dem normalen Spiel Anzahl, Farbe, Form und Füllung
bezeichnet. Bei Erweiterungen könnten neue Eigenschaften, wie etwa
Hintergrundfarbe hinzugefügt werden oder auch einige weggelassen werden.
Uns kommt es bei Eigenschaften aber nicht darauf an, welche es gibt, da
man diese beliebig austauschen kann, sondern wie viele es gibt. Die Anzahl
der Eigenschaften bezeichnen wir mit n, für das normale Spiel gilt
also n=4. Die Eigenschaften werden beliebig durchnumeriert, so daß
jeder Zahl von 1 bis n genau eine Eigenschaft und jeder Eigenschaft genau
eine Zahl zugeordnet ist.
2.2 Variante
Varianten sind Zustände der Eigenschaften. Bei der Eigenschaft Farbe
gibt es zum Beispiel die Varianten rot, lila und grün. Die Anzahl
der Varianten ist bei jeder Eigenschaft gleich und wird mit v bezeichnet,
für das normale Spiel gilt also v=3. Die Varianten jeder Eigenschaft
werden so durchnumeriert, daß jeder Zahl von 0 bis v-1 genau eine
Variante und jeder Variante eine Zahl zugeordnet ist.
2.3 Darstellung von Karten als Wort
Jede Karte läßt sich eindeutig als n-buchstabiges Wort über
das Alphabet von 0 bis v-1 darstellen, indem als Buchstabe an die Stelle
i die vorliegende Variante derjenigen Eigenschaft gesetzt wird, die der
Zahl i zugeordnet ist. Beim Set-Spiel gibt es also die Karten 0000 bis
2222. Diese Schreibweise entspricht einer Darstellung der Zahlen 0 bis
80 im Dreiersystem.
Bei v Varianten können die Karten dementsprechend in einem Zahlensystem
zur Basis v dargestellt werden. Diese Darstellung ist eindeutig, da die
Variante jeder Eigenschaft durch eine Ziffer dargestellt wird, und zwei
Karten daher nur dann gleich notiert werden, wenn sie in allen Eigenschaften
übereinstimmen.
2.4 Größe des Set-Spiels
Das verallgemeinerte Spiel mit beliebigen n und v besteht aus vn
verschiedenen Karten, da bei jeder der n Eigenschaften genau v Varianten
möglich sind.
2.5 Geometrische Darstellung
Man kann die Karten eines Set-Spiels mit n Eigenschaften in einem n-dimensionalen
Würfel darstellen, dessen Punkte nur natürlichzahlige Koordinaten
aufweisen. In eine Ecke des Würfels legen wir den Ursprung eines Koordinatensystems,
dessen n Achsen entlang der Kanten des Würfels verlaufen. Da wir jede
der v Varianten einer Eigenschaft mit ganzen Zahlen von 0 bis v-1 bezeichnen
können (siehe 2.2), können wir demnach jede der n Eigenschaften
auf jeweils einer der n Achsen abtragen. Jede Karte wird also durch einen
Punkt dargestellt, dessen Koordinaten den Varianten entsprechen.
 |
Abbildung 1 [5]: Geometrische Darstellung
des Set-Spiels mit drei Eigenschaften und drei Varianten in einem dreidimensionalen
Würfel (siehe auch Titelbild/Deckblatt)
In Abbildung 1 wird ein Set-Spiel mit drei Eigenschaften und drei Varianten
in einem dreidimensionalen Würfel dargestellt. Um die Einsicht zu
erleichtern, sind die Karten in dieser Abbildung selbst und noch nicht
als Punkte dargestellt. Deutlich erkennbar ist, daß sich dieser Würfel
aus drei Ebenen (oben, Mitte, unten; aber auch: links, Mitte, rechts; oder:
hinten, Mitte, vorne), in denen jeweils neun Karten liegen, zusammensetzt.
| 00 |
01 |
02 |
| 10 |
11 |
12 |
| 20 |
21 |
22 |
Abbildung 2: Geometrische Darstellung eines
Set-Spiels mit zwei Eigenschaften und drei Varianten in der Ebene
Die in Abbildung 2 dargestellte Ebene wurde in v² (=9) Felder aufgeteilt,
so daß jede Karte genau einem Feld zugeordnet ist und umgekehrt.
Zusätzlich wurden die Felder mit den zugehörigen Karten in der
Wortdarstellung (siehe 2.3) bezeichnet. Wegen dieser Darstellungsform verwenden
wir in unserer Arbeit auch den Ausdruck „Felder belegen“, wenn wir die
zugehörigen Karten auswählen.
Um einen n-dimensionalen Würfel, in dem sich die Karten eines
Setspiels anordnen lassen, auf möglichst einfache Weise darzustellen,
projizieren wir diesen auf die (Zeichen-)Ebene. Dabei werden mehr als zwei
Dimensionen dadurch dargestellt, daß jeweils v Schichten der (v-1)-ten
Dimension abgebildet werden. So wurden bei der Projektion des dreidimensionalen
Set-Würfels (Abbildung 3) die drei in ihm vorhandenen parallelen Ebenen
nebeneinander dargestellt. Bei vier Eigenschaften ergibt sich ein vierdimensionaler
Würfel, der sich aus drei dreidimensionalen parallelen Karten-„Schichten“
zusammensetzt. Bei der Projektion in der Ebene stellen wir diese drei „Schichten“
untereinander dar. Beim Schluß auf ungerade n werden also bei der
Projektion drei (n-1)-dimensionale Schichten nebeneinander dargestellt,
beim Schluß auf gerade n hingegen untereinander.
| 000 |
001 |
002 |
|
100 |
101 |
102 |
|
200 |
201 |
202 |
| 010 |
011 |
012 |
|
110 |
111 |
112 |
|
210 |
211 |
212 |
| 020 |
021 |
022 |
|
120 |
121 |
122 |
|
220 |
221 |
222 |
| 2-dimensionale Ebene |
|
2-dimensionale Ebene |
|
2-dimensionale Ebene |
Abbildung 3: Projektion des dreidimensionalen
Set-Würfels (n=3, v=3) auf die Zeichenebene
2.6 Sets
Beim normalen Set-Spiel (mit v=3) besteht ein Set aus 3 Karten, bei denen
für jede Eigenschaft gilt, daß sie gleich oder ganz unterschiedlich
sind. Mit der Menge {0001, 1021, 2011} liegt also ein Set vor.
Diese Set-Definition läßt sich auf beliebige Variantenzahlen
verallgemeinern, indem man unter einem Set v Karten versteht, die diese
Bedingung erfüllen. Wenn sich die Varianten einer Eigenschaft in einem
Set unterscheiden, kommt auf diese Weise nämlich jede Variante genau
einmal vor. Beispiel für n=3, v=4: {010, 130, 320, 200}. Bei jedem
v>1 müssen sich die Karten eines Sets in mindestens einer Eigenschaft
unterscheiden, denn jede Karte kommt nur einmal vor. Außerdem gilt
folgender
Satz: Bei v=3 gilt, daß zu zwei beliebigen verschiedenen
Karten genau eine dritte existiert, die mit den beiden ein Set bildet.
Beweis durch Konstruktion: Jede Eigenschaft wird für sich
allein betrachtet. Stimmen die Varianten beider vorgegebener Karten überein,
so muß auch die setbildende Karte in dieser Eigenschaft die gleiche
Variante aufweisen. Unterscheiden sich die beiden vorgegebenen Karten in
der betrachteten Eigenschaft, so muß die setbildende Karte in dieser
Eigenschaft die noch nicht verwendete Variante annehmen, so daß sich
alle drei Karten in dieser Eigenschaft unterscheiden.
2.7 Diagonalen
Die auf den Raumdiagonalen des n-dimensionalen Würfels jeweils liegenden
Karten unterscheiden sich in jeder Eigenschaft (und bilden daher ein Set,
siehe 2.6). Wir bezeichnen aber auch jedes andere Set, dessen Karten sich
in jeder Eigenschaft unterscheiden, als Diagonale (siehe Abbildung 4 für
Beispiele in der Ebene, Abbildung 5 für Beispiele im dreidimensionalen
Würfel). Jede Diagonale enthält wie ein Set (siehe 2.6) genau
v Karten.
| X |
Y |
|
| |
X |
Y |
| Y |
|
X |
Abbildung 4: Nicht nur die mit X markierten
Felder bilden eine (herkömmliche) Diagonale, nach unserer Definition
liegen auch die Y-Karten auf einer Diagonalen.
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Abbildung 5: Zwei Beispiele für Diagonalen
im dreidimensionalen Würfel (bei v=3); die mit Kreisen markierten
Karten stellen eine Raumdiagonale dar, laut unserer Definition bilden aber
auch die mit Quadraten kenntlich gemachten Karten eine Diagonale.