6 Ermittlung der größten Menge Karten ohne Set

Mit Hilfe des unter 5 beschriebenen Computerprogramms haben wir versucht, die Frage, wie viele Karten man ohne Set höchstens auslegen kann, für unterschiedliche Eigenschafts- und Variantenzahlen zu beantworten.

6.1 Trivial erschließbare Maximalzahlen

Für die Fälle v=1 und v=2 sowie n=1 lauten die Ergebnisse wie folgt:

6.2 Die Maximalzahl für drei Eigenschaften und drei Varianten

Läßt man das Programm ohne Vorgaben laufen, so ergibt sich als Maximalzahl die Zahl 9. Dafür werden jedoch auf einem Pentium 100 ca. 7 Sekunden benötigt, weil alle Kombinationen durchprobiert werden.
Man erhält alle Lösungen, auch wenn man sie durch Verschieben und Vertauschen ineinander überführen kann. Von solchen Lösungen müßte allerdings nur eine erfaßt werden, denn von der Kartenzahl sind sie gleich. Wir haben daher versucht, die Rechenzeit dadurch zu verringern, daß wir uns das zunutze machen.
Da die Maximalzahl größer als fünf ist, liegen vier Karten auf einer Ebene (siehe 4.1). Nach dem gleichen Prinzip wie unter 4.2 kann man also erreichen, daß in der ersten Ebene der geometrischen Darstellung vier Karten liegen, davon drei an den Positionen X1, X2 und X3 der Abbildung 6. Für die vierte Karte gibt es nun drei mögliche Positionen: Sie liegt entweder in der Mitte, unten in der Mitte oder rechts in der Mitte. Alle weiteren freien Felder bilden Sets.
Liegt sie rechts in der Mitte, kann man die Ebene aus den drei mittleren Reihe um 1 nach rechts und die Ebene aus den drei unteren Reihen um 1 nach links verschieben; ist das Feld unten in der Mitte belegt, kann man die Ebene aus den drei mittleren Spalten um 1 nach unten und die Ebene aus den drei rechten Spalten um 1 nach oben verschieben. In beiden Fällen ergibt sich die dritte Möglichkeit, bei der das 2x2 Quadrat links oben in der Ecke belegt ist.
Da man nach diesem Prinzip jede Lösung mit mehr als fünf Karten durch Verschieben und Vertauschen in eine Lösung überführen kann, in der diese Karten belegt sind, darf man sie bei der Suche nach der Maximalzahl festlegen. Tut man dies, so braucht das Programm weniger als eine Sekunde und liefert 18 Lösungen. Diese Lösungen lassen sich alle ineinander überführen, was wir im einzelnen jedoch nicht darlegen wollen.

6.3 Die Maximalzahl für das normale Set-Spiel

David van Brink hat ebenfalls mit Hilfe eines Programms [3] versucht, die Maximalzahl zu ermitteln. Sein Programm benötigt dafür eine Woche Rechenzeit, obwohl es Lösungen in den dreidimensionalen Hyperebenen vorberechnet und dabei gedrehte und gespiegelte Lösungen nicht betrachtet.
Auch mit unserem Programm dauert die Suche ohne Vorgaben sehr lange. Nach ca. 3 Sekunden hat unser Programm allerdings eine Lösung mit 20 Karten gefunden. Würde es eine Lösung mit 21 oder mehr Karten geben, so existiert laut 4.2 auch eine, bei der neun Karten in der oberen Hyperebene (geometrische Darstellung in der Zeichenebene) liegen. Da man bei drei Eigenschaften alle Lösungen mit neun Karten durch Verschieben und Vertauschen ineinander überführen kann, kann man eine beliebige Lösung in der oberen Hyperebene vorgeben.
Da nun aber auch in den unteren beiden Hyperebenen noch Karten liegen und man mit jeder der Hyperebenen beliebige Verschiebeaktionen durchführen kann, wenn man die andere Hyperebene nur in die entgegengesetzte Richtung verschiebt, kann man nun auch immer eine Karte an die Position oben links der ersten Ebene der mittleren Hyperebene verschieben. Diese Karte kann daher auch immer belegt werden.
Mit diesen Vorgaben benötigt das Programm nur ca. 22 Sekunden, um 20 als Maximalzahl zu bestätigen. Eine Lösung mit mehr als 20 Karten, die nicht durch Verschieben und Vertauschen in eine Lösung mit den genannten Eigenschaften überführt werden kann, gibt es laut 4.2 nicht, und da diese beiden Operationen die Kartenzahl nicht verändern, kann es allgemein keine Lösung mit mehr als 20 Karten geben, 20 ist Maximalzahl.
 
vorheriges Kapitelnächstes Kapitel

Anregungen, Fragen, Kritik an: Wolf Behrenhoff, Felix Krahmer und Andreas Sorge