7 Untergrenze für drei Varianten

Auf den Set-Internetseiten [3] stellt David van Brink fest, daß sich bei einer Erhöhung der Zahl der Eigenschaften um 1 die Zahl der Karten, die man maximal auslegen kann, ohne daß ein Set entsteht, mindestens verdoppelt und höchstens verdreifacht. Die Begründung hierfür ist einfach (unter Sn wird hier die maximale Kartenzahl ohne Set im n-dimensionalen Set-Spiel verstanden):
Wenn wir annehmen, daß das (n+1)-dimensionale Spiel aus drei n-dimensionalen Hyperebenen besteht, können wir eine Menge an Karten ohne Set im (n+1)-dimensionalen Spiel konstruieren, die aus zwei gleichen Hyperebenen, die jeweils die größte setlose Kartenkombination der vorherigen Dimension enthalten, und einer dritten, leeren Hyperebene besteht. Weil jedes Set entweder vollständig in einer Hyperebene liegen muß (das ist nicht möglich, da jede der Hyperebenen entweder keine Karten oder eine setlose Kombination des n-dimensionalen Spiels enthält) oder je eine Karte aus jeder Hyperebene enthalten muß (auch das ist nicht möglich, da die dritte Hyperebene leer ist), haben wir eine Kombination von 2Sn Karten ohne Set konstruiert.
Angenommen es existiert eine Menge an Karten ohne Set in der (n+1)-ten Dimension, die 3Sn+1 Karten enthält. Diese Summe aus den Kartenmengen der drei Hyperebenen muß demnach 3Sn+1 sein. Das bedeutet, daß eine der Hyperebenen mindestens Sn+1 Karten enthält. Da die größte Anzahl an Karten ohne Set in dieser Hyperebene aber laut Definition nur Sn ist, muß hier ein Set vorliegen, und unsere Ausgangsannahme ist falsch.
Wir haben uns auch mit der Suche nach Untergrenzen beschäftigt und dabei eine höhere Untergrenze gefunden.
Wir konnten ein rekursives Verfahren entwickeln, mit dem man in einem n-dimensionalen Set-Spiel - ohne ein Set zu erhalten - ein oder zwei Karten mehr auswählen kann als mit dem Prinzip der bloßen Verdopplung der (n-1)-dimensionalen Lösung - bei ungeraden n kann eine, bei geraden n können zwei Karten mehr als beim bloßen Verdoppeln belegt werden. Die nach diesem Prinzip entstehenden Kartenanordnungen nennen wir Umaxkombination (Umax=Untergrenze für die Maximalzahl auslegbarer Karten ohne Set).
Dazu geht man von einem n-dimensionalen Set-Spiel mit ungeradem n aus. Zwei (n-1)-dimensionale Hyperebenen seien bekannt, in denen je eine Umaxkombination von Karten enthalten ist - diese Hyperebenen heißen M1 und M2 - und die folgende Charakteristika aufweisen (unter einer 1-Hyperebene wird eine (n-1)-dimensionale Hyperebene verstanden, die in der geometrischen Darstellung in der Ebene nur rechts unten eine Karte hat): Eine Umaxkombination für das n-dimensionale Set-Spiel wird nun aus einer M1-, einer M2- und einer 1-Hyperebene gebildet. Hier existiert laut Voraussetzung kein Set.
Auch für ein (n+1)-dimensionales Set-Spiel kann man aus M1-Hyperebenen, M2-Hyperebenen und 1-Hyperebenen eine Umaxkombinationen konstruieren; hier ist sogar die Konstruktion von zwei Umaxkombinationen möglich, die die Voraussetzungen für M1 und M2 erfüllen (siehe Abbildung 8) und es somit ermöglichen, den Rekursionsschritt nochmals durchzuführen.
 
M1 M2 1 :=M1 1 1 M2 :=M2 0 0 0 :=1
M2 M1 1 1 1 M2 0 0 0
1 1 0 M1 M1 0 0 0 1
Abbildung 8: Die Konstruktionsvorschrift für M1, M2 und 1
Jedes Kästchen (nicht jeder 3x3-Kasten!) steht hier für eine (n-1)-dimensionale Hyperebene. Setzt man an die Stelle eines Kästchens die jeweilige Hyperebene, so ergibt sich die geometrische Darstellung in der Ebene; 0 steht hierbei für eine Hyperebene ohne Kartenbelegung.

Um nachzuweisen, daß es sich wieder um Umaxkombinationen handelt, muß man zeigen, daß in ihnen kein Set vorliegt.
Die einzelnen (n-1)-dimensionalen Hyperebenen beinhalten kein Set (siehe Voraussetzung für M1 und M2; 0 und 1 enthalten zu wenig Karten). Zwischen den Hyperebenen kann nur ein Set vorkommen, wenn die Hyperebenen in der obigen Darstellung in Kästchen liegen, die im zweidimensionalen Set-Spiel ein Set bilden würden. In welchem Kästchen eine Hyperebene liegt, hängt nämlich auch von zwei Eigenschaften ab, und die Varianten in bezug auf diese müssen natürlich auch jeweils entweder gleich oder verschieden sein.
Ein Set kann jetzt nur vorliegen, wenn entweder unter diesen drei Hyperebenen zwei M1-, zwei M2- oder drei 1-Hyperebenen vorkommen. Als weitere Kombinationen aus den vorhandenen Hyperebenen M1, M2, 1 und 0 kommen nur Kombinationen aus einer M1 bzw. M2 und zwei 1-Hyperebenen, die Kombination aus je einer M1- und M2- sowie einer 1-Hyperebene und Kombinationen mit einer 0-Hyperebene in Frage. Diese Kombinationen enthalten entweder per Definition kein Set, oder sie enthalten eine 0-Hyperebene; dann liegt zwischen ihnen ebenfalls kein Set vor.
Bei beiden Umaxkombinationen liegt kein Set vor, denn sowohl die setbildende Hyperebene zu den beiden M1-Hyperebenen als auch die setbildende Hyperebene zu den beiden M2-Hyperebenen ist 0 und enthält somit keine Karte. Drei 1-Ebenen liegen ebenfalls in keinem der beiden Fälle so, daß sie ein Set bilden, denn sie sind wie die Karten in 41 bzw. 42 (siehe Abbildung 9) angeordnet, und dort existiert bekanntlich kein Set.
X X - :=41 - - X :=42 - - - :=1
X X - - - X - - -
- - - X X - - - -
Abbildung 9: Ausgangsstellung der Rekursion und Maximallösung für n=3

Es handelt sich also in beiden Fällen um Umaxkombinationen. Damit sie aber für M1 und M2 eingesetzt werden können, müssen sie die oben angegebenen Bedingungen erfüllen:

Man kann also mit den nach diesem rekursiven Prinzip erhaltenen Umaxkombinationen einen weiteren Rekursionsschritt durchführen, ohne daß ein Set entsteht. Den Ausgangspunkt für die Rekursion bildet die in Abbildung 9 dargestellte Maximallösung für n=3. Die Ebenen 41 und 42 erfüllen die Voraussetzungen für M1 und M2. So läßt sich von n=2 auf n=3 und n=4, aus den so entstandenen Lösungen für n=4 auf n=5 und n=6 und damit auf alle natürlichen Zahlen >=3 schließen.
Erzeugt man die Umaxkombination bei einem ungeraden n, so fügt man zusätzlich zum Verdoppeln eine Karte hinzu, denn in zwei Hyperebenen liegt jeweils eine Umaxkombination für n-1 vor; die Karte der 1-Hyperebene kommt hinzu.
Erzeugt man die Umaxkombination bei einem geraden n, so fügt man zusätzlich zum Verdoppeln zwei Karten hinzu. In M1 (Abbildung 8) liegen nämlich in den Hyperebenen, die die oberen beiden Reihen bilden, Umaxkombinationen für n-1 vor; in der Hyperebene, die die untere Reihe bildet, liegen zwei Karten. M2 besteht aus den gleichen Hyperebenen wie M1 und beinhaltet daher auch genauso viele Karten.
Will man nun berechnen, wie viele Karten eine Umaxlösung für n Eigenschaften enthält, so geht man von einer Ebene mit vier Karten (n=2) aus und führt die Rekursionsvorgänge nacheinander aus. Die Kartenzahl wird dabei immer verdoppelt, wobei abwechselnd 1 und 2 addiert wird. Es ergibt sich also folgende Formel:
(((4·2+1)·2+2)·2+1...)·2+2 für gerade n und
(((4·2+1)·2+2)·2+1...)·2+1 für ungerade n,
denn der letzte Summand gibt die im letzten Rekursionsschritt addierte Kartenzahl an.
Die Formel für gerade n läßt sich nun vereinfachen:
Die 4 wird mit jeder Erhöhung der Eigenschaft um 1 mit 2 multipliziert. Da die erste Verdopplung beim Schritt von n=2 auf n=3 ist, wird die 4 genau n-2 Mal verdoppelt. Der erste Summand im Endergebnis ist also 4·2n-2=2n.
Die 1, die nach dem Verdoppeln der 4 addiert wird, wird einmal weniger verdoppelt, es ergibt sich 1·2n-3. Die 2, die nach dem zweiten Verdoppeln addiert wird, wird noch einmal weniger verdoppelt, es ergibt sich 2·2n-4=2n-3. Dieser Summand ist also doppelt vorhanden. Es ergibt sich insgesamt 2·2n-3=2n-2. Die nächste 1 und die nächste 2 werden jeweils zweimal weniger verdoppelt, es ergibt sich als Summand 2n-4. Dies kann man nun weiterführen; bei der letzten 1 und der letzten 2 entsteht der Summand 22. Insgesamt entsteht also folgende Summe:
 2n+2n-2+2n-4+...+22
=22·(n/2)+22·(n/2-1)+22·(n/2-2)+...+22·1
=4n/2+4n/2-1+4n/2-2+...+41
=sum(4k, k=1..n/2)
Diese Summe läßt mit Hilfe der expliziten Formel für geometrische Reihen vereinfachen:
==
Den Term für ungerade n erhält man, indem man den Term für n-1 (n-1 ist gerade) verdoppelt und 1 addiert:

Sowohl der Term für gerade als auch der für ungerade n und demnach auch ihre ersten Summanden sind ganze Zahlen. Die ersten Summanden sind nun um 1/3 bzw. 2/3 kleiner als (2n+2)/3 und somit gleich der größten ganzen Zahl, die kleiner als (2n+2)/3 ist. In beiden Formeln kann man also für den ersten Summanden  einsetzen. Damit ergibt sich für gerade und ungerade n dieselbe Formel.
Man kann daher bei n Eigenschaften (n>=3) immer  Karten auswählen, ohne daß ein Set entsteht.
 
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Anregungen, Fragen, Kritik an: Wolf Behrenhoff, Felix Krahmer und Andreas Sorge