4 Weitere Hilfssätze

4.1 Hilfssatz IV für drei Varianten

Liegen auf einer dreidimensionalen Hyperebene mindestens sechs Karten, so existiert eine Ebene, auf der sich vier dieser Karten befinden.
Beweis durch Widerspruch:
Wir gehen davon aus, daß eine Kartenkombination mit sechs oder mehr Karten existiert, in der auf keiner Ebene mehr als drei Karten liegen. Durch Verschieben und Vertauschen können wir immer erreichen, daß eine Karte auf dem Feld X1 liegt (siehe Abbildung 6). Da laut Konstruktionsvorschrift in der Ebene A, die aus den drei linken Spalten besteht, höchstens drei Karten liegen, muß auch in einer der parallelen Ebenen ein Feld belegt sein, sonst hat man weniger als sechs Karten ausgewählt. Sollte das nur bei der Ebene C, die aus den jeweils rechten Spalten besteht, der Fall sein, kann man sie mit Ebene B, die aus den jeweils mittleren Spalten besteht, austauschen. Man braucht daher nur den Fall zu betrachten, daß in B mindestens eine Karte liegt. Nun kann man B so verschieben, daß X3 von dieser Karte belegt wird, ohne A zu bewegen: Man verschiebt C in die andere Richtung (siehe 3.5). Analog kann man erreichen, daß X2 belegt wird, ohne die Ebene D, die aus den jeweils oberen Reihen besteht, zu beeinflussen. Die Belegung von X4 können wir erreichen, indem wir ggf. Ebene 2 und Ebene 3 austauschen, so daß in der Ebene 2 mindestens zwei Karten enthalten sind. Das ist immer möglich, da in Ebene 1 bereits drei belegt sind und die restlichen drei demnach auf die Ebenen 2 und 3 aufgeteilt werden müssen. Eine dieser beiden Karten läßt sich durch Verschieben der Ebene 2 - Ebene 1 bleibt konstant, Ebene 3 wird entgegengesetzt verschoben - auf die Position X4 abbilden.
Wir müssen also nur den Fall betrachten, daß X1, X2, X3 und X4 wie in der Abbildung 6 belegt werden.
 
A B C A B C A B C
D
X1 X3 -
D
X4 - -
D
- - -
X2 - - - - - - - -
- - - - - - - - -
Ebene 1 Ebene 2 Ebene 3
Abbildung 6: Verteilung der Karten X1 - X4

"-" bedeutet, daß das jeweilige Feld nicht belegt werden darf, da sonst eine Ebene mit insgesamt vier belegten Feldern oder ein Set vorliegen würde. Die gesamte Ebene 1 muß ausgeschlossen werden, da bereits die drei Karten X1, X2 und X3 in ihr liegen; die Ebene A muß auch ausgeschlossen werden, da in ihr die Karten X1, X2 und X4 belegt sind, und die Ebene D muß ausgeschlossen werden, da in ihr die Karten X1, X3 und X4 liegen. Weiterhin muß noch die Ebene ausgeschlossen werden, auf der X2, X3 und X4 liegen (vgl. Abbildung 6). Von den verbleibenden Karten in Ebene 2 muß genau eine ausgewählt werden, weil die beiden verbleibenden Karten mit X4 sonst ein Set bilden würden, weil aber in Ebene 2 dennoch mindestens zwei Karten belegt sind.
Wählt man in Ebene 2 das mittlere Feld, so wird die rechte Spalte in Ebene 3 ausgeschlossen, da in der mittleren Spalte in Ebene 2 und der linken Spalte in Ebene 1 (diese bilden mit der genannten Spalte eine Ebene) schon drei Karten belegt sind. Analog läßt sich für die untere Reihe in Ebene 3 argumentieren - mit den bisher belegten Karten sind die Ebenen 1, 2 und 3 jeweils an der Diagonalen von links oben nach rechts unten symmetrisch. Belegt man das Feld unten rechts in Ebene 2, so kann man den Fall in den eben genannten überführen, indem man die Ebene 2 um 1 nach rechts und um 1 nach unten verschiebt; Ebene 3 verschiebt man entgegengesetzt.
Man kann also in keinem der beiden Fälle ein sechstes Feld belegen, ohne daß vier Karten auf einer Ebene liegen oder ein Set entsteht. Das steht aber im Widerspruch zu unserer Annahme, q.e.d.

4.2 Hilfssatz V für drei Eigenschaften und vier Varianten

Existiert hier eine Lösung, bei der mehr als 20 Karten ausgewählt wurden, so existiert auch eine Lösung, in der in der geometrischen Darstellung in der Ebene in der oberen dreidimensionalen Hyperebene neun Karten liegen.
Beweis durch Widerspruch:
Wir gehen davon aus, daß eine Lösung mit mehr als 20 Karten existiert, die mit den Operationen des Verschiebens und des Vertauschens nicht in eine Lösung überführt werden kann, in der in der ersten Reihe 9 Karten liegen.
Da insgesamt mehr als 20 Karten vorliegen, müssen in einer der drei parallelen Hyperebenen in der geometrischen Darstellung als waagerechte Reihen dargestellten dreidimensionalen Hyperebenen mehr als sechs Karten liegen (Schubfachprinzip). Die Lage der Hyperebene kann nun so vertauscht werden, daß sie in der obersten Reihe liegt. Jetzt existiert also in dieser Reihe eine Ebene, auf der vier Karten liegen (vgl. 4.1).
Da auf dieser Ebene kein Set liegt, kann man drei der vier belegten Karten also so verschieben, daß sie in der Ebene ganz oben links liegen. Das Anordnungsprinzip hierzu wurde unter 4.1 dargestellt, als gezeigt wurde, daß die Felder X1, X2 und X3 belegt werden können. Die vierte Karte liegt mit den ersten dreien auf einer Ebene und deshalb nach der Verschiebung auch in der Ebene ganz links oben. Zu drei Karten, die kein Set bilden, gibt es nämlich immer nur eine Ebene, auf der alle drei Karten liegen, und das ist die Ebene links oben.
Zwei Ebenen, die mit der Ebene links oben ein Set bilden, kann man nun immer so verschieben, daß sie in der oberen Reihe liegen: Man schiebt eine an die Position oben in der Mitte, die andere belegt nach dem Verschieben automatisch die setbildende Position.
Auf keinen zwei Ebenen, die mit der Ebene links oben ein Set bilden, dürfen also fünf oder mehr Karten liegen, sonst könnte man mit Hilfe des Verschiebens und Vertauschens eine Konstellation erzeugen, in den Ebenen ihrer oberen Reihe neun Karten liegen.
Es gibt nun vier Ebenenpaare, die mit der Ebene links oben ein Set bilden, denn im zweidimensionalen Set-Spiel ist jede Karte in vier Sets enthalten. Weitere Ebenen gibt es nicht (vgl. Abbildung 7). In jedem der Ebenenpaare dürfen höchstens vier Karten liegen; zusammen mit den vier Karten in der Ebene links oben sind also höchstens 20 Karten belegt. Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung, daß mehr als 20 Karten ausgewählt wurden.
 
4 b b
a c d
a d c
Abbildung 7: Die mit vier Karten besetzte Ebene "4" links oben bildet mit vier Ebenenpaaren (gleiche Buchstaben) Sets.

 
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Anregungen, Fragen, Kritik an: Wolf Behrenhoff, Felix Krahmer und Andreas Sorge