SET - Ein mehrdimensionales Kartenspiel (Kurzfassung)

Ein Spiel

In unserer Arbeit geht es um das Kartenspiel "SET!". Es besteht aus 81 Karten, auf denen Symbole abgebildet sind. Diese unterscheiden sich in vier Eigenschaften: Anzahl, Farbe, Form und Füllung. Bei jeder Eigenschaft gibt es drei verschiedene Zustände, die wir Varianten nennen. Das Ziel des Spieles ist es, von zwölf ausliegenden Karten drei zu finden, die in bezug auf alle vier Eigenschaften entweder alle gleich oder alle verschieden sind - drei Karten, die ein Set bilden. Wenn es keine drei Karten gibt, die ein Set bilden, werden drei Karten dazugelegt - jetzt hat man 15 Karten ausliegen.

Ein Problem

Die Spielanleitung sagt aber nicht, was dann passiert: Ist jetzt immer ein Set vorhanden oder muß man eventuell noch drei Karten dazulegen? Mit dieser Frage haben wir uns beschäftigt. Wir konnten auch 18 und sogar 20 Karten finden, in denen kein Set vorhanden ist. Die Frage war nun aber, ob das maximal ist, oder ob es auch 21 oder noch mehr Karten ohne Set gibt. Und was passiert, wenn es mehr oder weniger Eigenschaften gibt? Oder wenn die Zahl der Varianten anders ist?

Ein Programm

Als erstes haben wir ein Computerprogramm geschrieben, das alle Kartenkombinationen durchprobiert und so die Maximalzahl an Karten ohne Set bestimmt. Beim normalen Set-Spiel dauert das aber sehr lange. Die Frage war nun, ob man vielleicht einige Karten von vornherein festlegen kann. Um die Frage zu beantworten, haben wir das Set-Spiel geometrisch veranschaulicht.

Ein Würfel

Um die mathematischen Zusammenhänge zwischen den Karten besser darstellen zu können, stellen wir die Karten als Punkte in einem vierdimensionalen Würfel dar. Bei einer anderen Anzahl von Eigenschaften ergibt sich kein vierdimensionaler Würfel, sondern einer mit so vielen Dimensionen, wie das Set-Spiel Eigenschaften hat. Für den so entstandenen mehrdimensionalen Raum ergibt sich eine eigene Geometrie, die zahlreiche Ähnlichkeiten zur normalen Geometrie aufweist. Die Sets entsprechen dabei den Geraden, und es entstehen auch Ebenen und Hyperebenen. Auch Verschiebungen und die Parallelität von Geraden und Ebenen konnten wir in diesem Raum wiederfinden.

Mit Hilfe von Verschiebungen können wir nun zehn Karten des Set-Spiels festlegen, so daß unser Programm die Maximalzahl schon in weniger als 5 Minuten ausrechnen kann.

Viele Ergebnisse

So kann das Programm allerdings nur einzelne Spezialfälle ausrechnen, wir wollten allgemeine Formeln aufstellen. Dazu haben wir uns mit drei Varianten mathematisch auseinandergesetzt und konnten beweisen, daß es bei n Eigenschaften, egal wie groß n ist, immer eine Möglichkeit gibt, [(2n+2)/3]-1 Karten auszuwählen, ohne daß ein Set entsteht. Die eckigen Klammern bezeichnen dabei die Zahl ohne Nachkommastellen.

Auch für zwei und drei Eigenschaften konnten wir Formeln finden: Bei zwei Eigenschaften und v Varianten kann man immer (v-1)2, bei drei Eigenschaften und v Varianten immer (v-1)3+1 Karten auswählen, ohne daß ein Set entsteht. Für zwei Eigenschaften konnten wir sogar beweisen, daß es sich dabei um die Maximalzahl handelt.

Alles verstanden?

Haben Sie noch Fragen? Wir sind für Sie da:
Wolf Behrenhoff, Felix Krahmer und Andreas Sorge

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